Entre algèbre et géométrie : la question des points de serpentement et de rebroussement dans la correspondance de Gabriel Cramer avec Euler et D’Alembert

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Thierry Joffredo

Résumé

En 1750 Gabriel Cramer publie son traité sur les courbes algébriques, intitulé Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques. Il s’agit en fait d’une somme de près de 700 pages qui vise à présenter au lecteur une étude et une classification systématiques des courbes algébriques jusqu’à l’ordre cinq, au moyen de méthodes algébriques, sans recours au calcul différentiel. Deux chapitres sont consacrés aux différentes sortes de points singuliers que l’on peut y rencontrer. Nous nous intéresserons ici au cas particulier des points de rebroussement de seconde espèce et des points de serpentement, et à leur traitement dans la correspondance de Gabriel Cramer avec Leonhard Euler et Jean Le Rond D’Alembert. Nous prendrons appui sur ce choix de lettres pour interroger les rôles respectifs de la géométrie et de l’algèbre chez Cramer dans sa manière d’aborder l’étude des courbes algébriques, et tenterons d’en tirer quelques conséquences sur l’évolution de sa pensée mathématique sur ce sujet entre 1744 et 1750.


Thierry JOFFREDO (thierry.joffredo@univ-lorraine.fr), né en 1972, enseignant certifié en mathématiques et doctorant en histoire des mathématiques aux Archives Henri Poincaré de Nancy (UMR 7117 CNRS / Université de Lorraine). Le titre de ma thèse est « Approches biographiques de l’Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques de Gabriel Cramer », que je mène sous la direction de Philippe Nabonnand et Olivier Bruneau.

Introduction

Gabriel Cramer (1704-1752) est un savant genevois, professeur de mathématiques (1724) puis de philosophie (1750) à l’Académie de Genève, aujourd’hui essentiellement connu pour la règle de résolution des systèmes linéaires d’équations qui porte son nom. Associé à plusieurs académies et sociétés savantes – membre de l’Académie de Berlin dès 1746 et fellow de la Royal Society de Londres en 1749[1] – il est très bien intégré aux réseaux de la République des lettres. Son Grand Tour de formation, commencé en 1727 et terminé deux ans plus tard, le mène de Bâle (où il prend des cours auprès de Jean Bernoulli[2]) à Paris, en passant par Londres et Leyde. Après ce premier voyage il entretient une première série de correspondances avec les savants qu’il a rencontrés : citons les Bernoulli à Bâle, James Stirling[3] à Londres, Jean-Jacques Dortous de Mairan[4], Pierre Louis Moreau de Maupertuis[5] et Alexis Claude Clairaut[6] à Paris. Ce premier réseau de correspondants s’agrandit dans les années 1740, incluant notamment Leonhard Euler[7] (alors à Berlin) dès 1743, puis Jean Le Rond D’Alembert[8] suite au second séjour parisien de Cramer en 1747-48[9].

Gabriel Cramer a publié une unique œuvre en 1750, intitulée Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques[10]. Ce traité s’inscrit dans un courant de travaux menés par les géomètres des XVIIe et XVIIIe siècles autour des questions de l’étude et de la classification des courbes algébriques planes (c’est-à-dire des courbes définies dans le plan par une équation algébrique). L’un des principaux contributeurs à ce mouvement a été Isaac Newton, qui propose dès les années 1670 une classification des courbes du troisième ordre, tardivement publiée en 1704 en annexe de son Opticks[11]. Dès lors, le sujet des courbes algébriques devient un important sujet d’études : en Angleterre, en 1717, Stirling publie un ouvrage[12] visant à expliciter les méthodes algébriques mises en œuvre par Newton et compléter ses résultats ; en France Maupertuis[13], suivi de François Nicole[14] (1683-1758) et l’abbé Christophe Bernard de Bragelongne[15] (1688-1744), se penchent aussi sur la question dans différents mémoires publiés par l’Académie royale des sciences autour de l’année 1730. L’efficacité des méthodes différentielles appliquées aux courbes en toute généralité, par exemple par Guillaume de L’Hôpital[16] dès 1696 dans son Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des courbes[17], est parfaitement éprouvée à ce moment-là, mais quelques géomètres considèrent que les méthodes algébriques (non différentielles) suffisent amplement pour l’étude des courbes algébriques. C’est le cas de l’abbé Jean-Paul De Gua de Malves[18] qui fait paraître en 1740 un ouvrage au titre explicite : Usages de l’analyse de Descartes pour découvrir, sans le secours du Calcul Différentiel, les Propriétés, ou Affections principales des Lignes Géométriques de tous les Ordres[19]. Gabriel Cramer fait également sienne cette approche lorsqu’il s’attaque à la rédaction de son Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques, véritable somme du savoir de son temps sur les courbes algébriques : son but est de proposer une classification systématique des courbes d’ordre inférieur ou égal à cinq, et d’outiller par la seule algèbre l’étude des branches infinies, des centres et diamètres, des tangentes, des maxima et minima et des points singuliers de ces courbes, dans la droite lignée des travaux de ses prédécesseurs, de Newton à De Gua, qu’il énumère dans sa préface[20].

Parmi les points singuliers qu’il est possible de rencontrer dans les courbes algébriques, les points de rebroussement de la seconde espèce et les points de serpentement posent question aux géomètres durant toute la première moitié du XVIIIe siècle, leur réalité étant tantôt affirmée, tantôt remise en cause. Ces hésitations illustrent les tensions et les complémentarités entre les approches algébriques et géométriques dans l’étude des courbes. Je donne ici un éclairage sur cette question en me focalisant sur les points de vue successifs de Cramer à propos de ces types de points singuliers, tels qu’ils apparaissent dans ses échanges épistolaires avec Euler (en 1744-45) puis avec D’Alembert (en 1750). Nous verrons comment ces correspondances[21] contribuent à la clarification et aboutissent à l’institutionnalisation de ces deux notions géométriques par les différents acteurs, chacun de leur côté, en particulier par Cramer dans son traité des courbes et D’Alembert dans les articles correspondants de l’Encyclopédie. Je prendrai notamment appui, pour discuter du point de vue de D’Alembert sur les points de serpentement, sur une lettre adressée à Cramer en septembre 1750 que j’ai eu la chance de découvrir aux archives du Musée d’histoire des sciences de Genève en 2014. Nous verrons ainsi comment la lecture de cette correspondance contribue à une analyse dynamique de la question des points singuliers telle qu’elle est perçue et traitée par Cramer, illustrant une certaine évolution des usages de l’algèbre (calculer) et de la géométrie (voir) dans sa pratique mathématique et des rôles respectifs qu’il leur assigne successivement.

De l’existence des points de rebroussement de la seconde espèce

Le point de rebroussement de la seconde espèce est un point singulier, que Cramer définit dans l’Introduction comme formé par deux branches qui tournent leurs concavités d’un même côté & se terminent où elles se rencontrent[22], et qu’il nomme rebroussement en bec pour sa forme en un bec d’oiseau (voir figure 6).

Le marquis de L’Hôpital évoque ce type de point singulier dès 1696 dans son Analyse des infiniment petits dans le contexte de la théorie des développées des courbes ; il prétend que ce genre de point, qu’il baptise points de rebroussement de la seconde espèce (par référence aux points de rebroussement ordinaires, bien connus), apparaissent par exemple dans la développée d’une courbe autour d’un point d’inflexion[23] :

Si l’on développe une courbe BAC qui ait un point d’inflexion en A, en commençant par le point D autre que le point d’inflexion ; on formera par le dévelopement de la partie BAD la partie DEF ; & par celuy de la partie DC, la partie restante DG : de sorte que FEDG sera la courbe entière formée par le dévelopement de BAC. Or il est visible que cette courbe rebrousse chemin aux points D & E, avec cette différence qu’au point de rebroussement D les parties DE, DG ont leur convexité opposée l’une à l’autre ; au lieu qu’au point E les parties DE, EF sont concaves vers le même côté. On a enseigné dans la section précédente à trouver les points de rebroussement tels que D : il est question maintenant de déterminer les points E, qu’on peut appeler points de rebroussement de la seconde sorte, & que personne, que je sçache, n’a encore considéré. [24]

Figure 1 : le point de rebroussement de seconde espèce dans l'Analyse des infiniment petits de L'Hôpital
Figure 1 : le point de rebroussement de seconde espèce dans l’Analyse des infiniment petits de L’Hôpital[25]

Maupertuis, dans son mémoire de 1729, l’inclut dans les affections des lignes courbes qu’il est possible de rencontrer et le définit comme l’union d’un point de rebroussement et d’un point d’inflexion :

Ici se présente nécessairement le point de rebroussement que M. de l’Hôpital appelle point de rebroussement de la seconde sorte, dont il se contente de dire, que le rayon de la dévelopée y est un plus grand ou un plus petit ; & de-là donne une formule pour trouver ces sortes de points. La nature de ce point fait partie de cette Théorie, dont il n’est qu’un cas.

Nous avons vu que dans le point de serpentement, deux points d’inflexions se soient unis ; & que le point de double pointe etoit l’union de deux points de rebroussement : dans ces deux cas le second point détruit le changement que le premier avoit apporté au cours de la Courbe.

Mais un point d’inflexion peut s’unir à un point de rebroussement ; & ces deux points n’étant point absolument opposés, l’un ne rétablit point ce qu’a changé l’autre ; & le cours de la Courbe paroit rebroussant. [26]

Néanmoins l’existence de ces points est fortement remise en cause par l’abbé De Gua de Malves dans ses Usages de l’analyse de Descartes, où il réfute fermement la possibilité qu’ils puissent se rencontrer dans les courbes géométriques :

Je fais voir de même à la suite du Lemme second que deux parties d’une Branche de Courbe ne peuvent s’unir l’une à l’autre que par des Points de trois figures différentes, & la démonstration que je donne de cette verité me sert aussi à démontrer l’impossibilité du Point qu’on nomme communément Rebroussement de la seconde Espèce ; Point qu’on avoit toujours cru possible depuis que M le Marquis de L’Hopital en avoit supposé l’existence, & donné la description. [27]

On peut remarquer que D’Alembert, dans la recension qu’il fait de l’ouvrage de l’abbé dans le Journal des Sçavans, en 1740, marque son accord avec l’auteur :

Il [L’abbé De Gua] prouve que ce ne peut être que par des points semblables de figure ou aux points ordinaires, ou aux inflexions ou aux rebroussements ordinaires ; par conséquent les deux parties d’une même branche de courbe ne peuvent être unies, de façon que la convexité de l’une regarde la concavité de l’autre. Donc ce point singulier que M. le Marquis de L’Hôpital, a nommé rebroussement de la seconde espèce, & qu’il a fait naître du développement d’une courbe à inflexion, ne peut avoir lieu dans les courbes. [28] 

Il est intéressant de souligner qu’à ce moment (en 1740) personne n’a encore manifestement exhibé l’équation d’une courbe algébrique présentant un tel point singulier : seule la construction de L’Hôpital vient illustrer cette possibilité. Le sentiment de l’abbé De Gua, comme le montre la recension de D’Alembert, semble donc alors communément accepté par les géomètres qui s’intéressent à ce sujet.

Cramer débute la rédaction de son Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques à l’automne 1740 : il semble alors lui aussi épouser le point de vue de De Gua sur les rebroussements de la seconde espèce, jusqu’à la réception en 1744 d’une lettre d’Euler, alors en pleine rédaction de son Introductio in analysin infinitorum[29] qui paraîtra en 1748, et dont le second volume s’attache également à l’étude des courbes algébriques de tous ordres. Dans cette lettre[30] du 20 octobre 1744, Euler aborde la question des points de rebroussement de la seconde espèce et admet avoir été dans l’erreur :

Il s’y trouve même des recherches si épineuses, où il faut apporter toute l’attention possible pour ne s’y tromper pas, ce qui m’est arrivé en developpant la nature du point de rebroussement de la seconde espece. Mr le Marquis de l’Hopital avoit fait voir qu’il y avoit en effet des courbes douées d’un tel point, mais Mr Gua de Malves pretend, que les deux branches de la courbe, qui forment ce point, s’etendent tousjours de l’autre coté, de sorte que selon lui ce point n’est autre chose, qu’une intersection de deux branches, qui se croisent à un angle infiniment petit. Les raisons qu’il en apportent me sembloient asses fortes, et j’en ai encore trouvé d’autres, qui m’ont determiné à croire, qu’il avoit raison, comme Vous aures sans doute remarqué en parcourant mon ouvrage. Mais depuis j’ai reconnu très clairement, que je m’étois trompé sur ce point, et qu’il y a effectivement des courbes, qui ont un tel point de rebroussement tout net, sans qu’on le puisse regarder comme une intersection infiniment proche de deux branches.

Euler propose l’exemple suivant, équation d’une courbe du quatrième ordre :

eq1

qui peut se représenter de la manière suivante (à l’aide d’un logiciel de géométrie moderne) :

Figure 2 : La courbe d’Euler, qui présente un rebroussement de la seconde espèce à l’origine
Figure 2 : La courbe d’Euler, qui présente un rebroussement de la seconde espèce à l’origine

L’exhibition de cette équation et l’étude de la courbe associée fait changer Cramer d’opinion sur le point de rebroussement de seconde espèce, malgré tout le soin qu’il a apporté à tenter de mettre en défaut l’exemple d’Euler ; voici ce qu’il écrit à ce sujet dans sa réponse[31] du 11 novembre 1744 :

J’ai été surpris de ce que vous me marqués sur les points de rebroussem[ent] de la seconde espèce. Les raisons de Mr de Gua ne m’avoient pas paru, il est vrai, tout à fait demonstratives. C’est pourquoi je n’en avois rien dit dans mon Essai, me contentant de passer cette sorte de point sous silence dans l’énumeration des points doubles. Mais je vous avouerai pourtant que, comme vous, j’etois fort prévenu contre l’existence de ces points, n’en aiant jamais trouvé de mon chemin. Aussi ai-je fait tout mon possible pour contester ou chicaner votre Courbe. Mais il n’y a pas eu moien. La chose est trop claire, quoique fort paradoxe. D’abord j’ai voulu croire qu’elle se terminoit en une sorte de petit sac fort allongé,

Figure 3
Figure 3

et cela paroissoit devoir etre ainsi, parce que cette Courbe semble n’etre que la Parab.eq2, dont l’axe seroit contourné en Parabole ordinaire. Mais un moment après, j’ai vu qu’en contournant cet axe en Parabole, on laisse les Ordonnées paralleles à la prémière position de l’axe, & qu’ainsi près de l’origine elles deviennent infiniment inclinées, ce qui change le prétendu sac en bec d’oiseau. […]. Ensuite j’ai éxaminé, si ce point du sommet n’est pas un point de rebroussement ordinaire, dont une branche par une inflexion fort proche du sommet retourne sa concavité du même côté que l’autre branche

Figure 4
Figure 4

comme cela arrive à des courbes que je connois. Ce qui rendoit ce soupçon assés vraisemblable, c’est qu’il me sembloit qu’on peut concevoir ce point comme formé par l’évanouissement d’une fueille[32]. Car si au lieu de l’éq[uation] eq2, on prend eq4, elle aura cette forme

Figure 5
Figure 5

et b diminuant à l’infini, la fueille s’évanouit. Or il est commun qu’un foliolum evanescens produise un point de rebroussem[ent] ordinaire. Mais il a encore falu renoncer à cette conjecture. […] En un mot, quelle que soit la construction de cette Courbe, il est sur que la Courbe Capture d’écran 2016-03-30 à 17.33.15 a au sommet un point de rebroussem[ent] de la 2e espéce, duquel par conseq[uent] l’existence est maintenant incontestable.

On lit ici clairement les réticences initiales de Cramer à accepter l’exemple fourni par Euler, et la recherche de configurations géométriques alternatives pouvant le mettre en défaut (comme en témoigne la présence de ces quelques figures dans le corps de sa lettre). Si l’algèbre y est convoquée, ce n’est qu’à l’occasion de calculs marginaux, assez éloignés des méthodes de développement en série qu’il mettra en œuvre dans la version finale de son traité pour établir l’existence des points de rebroussement en bec.

Trois nouvelles lettres sont échangées entre décembre 1744 et juillet 1745 – dont je ne donne pas le détail ici[33], mais qui achèvent de convaincre Cramer de l’existence de ce type de points singuliers. Laissons le mot de la fin à Euler qui, pour conclure sa lettre[34] à Cramer en date du 6 juillet 1745, fait le constat de la difficulté de concilier l’approche géométrique et l’approche analytique (c’est-à-dire algébrique) :

Le doute que Vous aves encore sur la courbe dont l’equation est eq6 est fort bien fondé, et en considerant la chose selon la geometrie, l’axe de cette courbe devroit être en meme tems un diametre. Mais la geometrie n’est pas toujours d’accord avec l’analyse, et il y a aussi bien des cas où la geometrie donne par ses constructions des courbes defectueuses qu’abondantes.

Toujours est-il que Cramer décide d’intégrer ces points de rebroussement de seconde espèce à son traité des courbes, au sein du chapitre XIII, intitulé Des différentes espèces de Points multiples dont peuvent être susceptibles les Courbes des six premiers Ordres dans un paragraphe portant sur les osculations et les rebroussements :

 

Il y a aussi deux sortes de Rebroussement. L’un, qui est le Rebroussement proprement dit, est une demi-Osculation formée par deux Branches qui tournant leurs convexités l’une contre l’autre, se terminent au point de contact. L’autre, qui est un demi-Embrassement, est formé par deux branches qui tournent leurs concavités d’un même côté & se terminent où elles se rencontrent. On peut le nommer Rebroussement en bec, ou simplement Bec.[35]

Cramer propose pour premier exemple[36] la courbe d’équation  eq7 pour laquelle il établit, à l’aide de calculs algébriques uniquement (des développements en série), qu’elle présente un rebroussement en bec à l’origine. Il donne ensuite pour second exemple, la courbe d’équation  , et illustre ces deux exemples dans la planche XXVI[37] (figures 201 et 202, dans lesquelles apparaissent clairement ces deux rebroussements en bec ) :

Figure 6 : Détail de la planche XXVI, Cramer, Introduction, p. 600
Figure 6 : Détail de la planche XXVI, Cramer, Introduction, p. 600

Cramer reviendra sur cet échange dans une lettre[38] à Euler, écrite le 25 septembre 1750, quelques semaines après la publication de l’Introduction:

J’en avois dès 4 ou 5 ans changé quelques endroits du dernier Chap[itre] sur les Rebroussemens, que j’apelle en Bec, au sujet des éclaircissemens que vous aviez eu la bonté de me donner, dans les Lettres que nous échangions en ce tems-là.

D’Alembert est également intervenu sur ce sujet des points de rebroussement de la seconde espèce dans un échange de lettres, parfois assez confuses, avec Euler et Cramer en 1747-48. Il revient sur ce qu’il avait écrit en 1740 dans la recension des Usages de l’abbé De Gua pour le Journal des Savants, et revendique même la priorité sur Euler quant à la découverte de l’existence de ces points[39]. Il conclut l’épisode[40] en écrivant l’article Rebroussement de l’Encyclopédie, venant définitivement établir après Cramer (et donc, dans une certaine mesure, Euler) l’existence de ce type de points dans les courbes algébriques.

REBROUSSEMENT : s. m. (Géometrie.) est la même chose que ce que l’on appelle en latin flexus contrarius, flexion contraire. […] Rebroussement de la seconde espece est un point A (fig. 7. Analys.), où les deux branches PM, pm, du rebroussement ne sont pas convexes l’une vers l’autre comme dans le rebroussement ordinaire, mais placées de maniere que la concavité de l’une regarde la convexité de l’autre. […] Voyez à ce sujet les recherches sur le calcul intégral, imprimées dans le second volume en françois des mém. de l’acad. des Sciences de Prusse.
Je suis le premier qui ait démontré invinciblement l’existence de ces points, que d’habiles géometres avoient attaquée, comme le savant M. Euler l’a reconnu dans les mém. de l’acad. de Berlin de 1750, pag. 112. [41]

De la réalité des points de serpentement

On retrouve une autre discussion sur les points singuliers des courbes algébriques, cinq ans après les échanges avec Euler, dans la correspondance de Gabriel Cramer avec D’Alembert. Cramer, au début du mois d’août 1750, envoie à Paris une vingtaine d’exemplaires de son traité fraîchement sorti des presses de son imprimeur, dont un à l’attention de D’Alembert, avec qui il est en correspondance régulière depuis son séjour parisien en 1747-48. D’Alembert ne fait pas que survoler poliment l’ouvrage : il se montre un lecteur très attentif et rigoureux et écrit rapidement, courant septembre, ses premières remarques, critiques et questions à Gabriel Cramer en soulevant les uns après les autres les points qui lui posent problème. Parmi les interrogations de D’Alembert, on trouve celle de la réalité des points de serpentement : une sorte très particulière de points singuliers présenté par Cramer dans le chapitre X de son traité, en rapport avec les points d’inflexion.

La notion de point de serpentement apparaît initialement dans le mémoire de Maupertuis intitulé Sur quelques affections des lignes courbes parue dans l’Histoire de l’Académie royale des sciences de 1729, dont nous avons déjà parlé. Maupertuis définit cette singularité comme l’union de deux points d’inflexion infiniment proches[42] – d’où un autre nom utilisé par Cramer, qui aura une meilleure postérité : les « points de double inflexion ».

Lorsqu’une Courbe change sa concavité en convexité, il n’est pas nécessaire que la convexité nouvellement acquise s’étende loin : la Courbe peut bien-tôt après reprendre sa première concavité ; elle le peut même aussitôt après, & pour ainsi dire, dans l’instant suivant. La proximité de ces changemens ne permettra pas à la vue de les remarquer, mais ils n’en existeront pas moins dans la nature des choses, avec des propriétés qui ne conviennent à aucuns autres points de la Courbe. J’appellerai le point où se font ces changemens, point de serpentement.

Quelque 20 ans plus tard, dans son traité, Gabriel Cramer définit ces points de serpentement d’une manière très proche[43] :

 Mais dans les Lignes du quatrième Ordre & des Ordres supérieurs, une Tangente  AB en un point d’Inflexion A peut encore rencontrer la Courbe, comme en B. Si, par quelque supposition, la distance AB devient infiniment petite Ab, la Droite AB ne coupe plus la Courbe, elle ne fait que la toucher. Mais ce contact est équivalent à quatre intersections, ou à deux attouchemens simples, infiniment proches l’un de l’autre. L’inflexion ne paroit plus, quoiqu’elle existe réellement dans un espace infiniment petit, & qu’elle soit sensible à l’Analyse, dont la vüe, si l’on ose parler ainsi, est plus perçante que la nôtre. On donne à ces Points le nom de Points de double Inflexion, ou Points de Serpentement.

Il est aisé de voir que les Inflexions sont alternativement visibles et invisibles, en passant d’un degré à l’autre. […] que les Inflexions doubles, quadruples, & en général celles d’un degré pair, sont invisibles, & ne diffèrent en rien, à la vüe, des simples Points de la Courbe : ils ne sont reconnoissables que par les effets de leur existence produit dans le Calcul. C’est proprement ces Points d’Inflexion invisible qu’on nomme Points de serpentement.

En effet, comme on peut le voir sur les figures qui illustrent ces paragraphes[44], le point de serpentement n’est pas perceptible visuellement, par exemple au point A sur la figure 114 lorsque la branche AbB atteint sa position limite (en pointillés).

Figure 7 : Détail de la planche XVI, Cramer, Introduction, p. 408
Figure 7 : Détail de la planche XVI, Cramer, Introduction, p. 408

D’Alembert, après lecture du traité de Cramer, réunit ses premières remarques et les communique à Gabriel Cramer par une lettre envoyée en septembre 1750. Le passage[45] reproduit ci-dessous concerne ces points de serpentement :

Ce que l’on appelle serpentement infiniment petit, ne me paroit autre chose qu’un point conjugué placé sur une branche de courbe ; j’en dis autant des autres points, & je crois qu’on peut reduire tous les points singuliers à des points conjugués placés sur des branches. Dans le fond tout cela ne signifie autre chose sinon que l’ordonnée de la courbe en tel ou tel point a trois valeurs egales qui ne sont exactement & rigoureusement qu’une meme valeur. […] Un serpentement nul n’est autre chose qu’un point simple, et, pour qui veut parler clairement, un serpentement infiniment petit n’est qu’un serpentement nul.

On voit également ici que D’Alembert considère qu’un point de serpentement n’est pas autre chose qu’un point simple, régulier de la courbe : en géomètre, il estime que ce point ne présente aucune particularité graphique qui le distinguerait d’un point voisin, concédant à l’algèbre la possibilité d’en faire un point multiple, mais guère plus. Ce à quoi Gabriel Cramer s’attache à répondre[46] en invoquant des arguments relevant de la seule algèbre, conformément à ce qu’il a écrit dans son traité :

Je vous demande pardon si je ne pense pas comme vous sur les points de serpentement, &c. Je pense qu’ils different essentiellement des points multiples & en voici la difference. C’est que toute droite qui passe par un point multiple est censée rencontrer la courbe en plusieurs points au lieu qu’il n’y a que la tangente d’un point d’inflexion ou de serpentement qui la rencontre en plusieurs points, toute autre droite ne la rencontre qu’en un seul. […] Ce qui doit nous faire juger du caractère d’un point qui paroissant ordinaire à la vuë se trouve par le calcul être singulier : c’est de voir d’ou cette singularité prend son origine, en ajoutant à l’éq. quelque terme qui donne à la courbe, un serpentement fini, ou quelque feuille, fleuron, ovale, ou point conjugué, lequel ensuite disparoit par l’évanouissement de quelque connue qui anéantit ce terme ajouté. […] Au reste tout ceci est encore plus vrai des points de serpentement & des points d’inflexion. Je ne vous parle que de ces derniers pour éviter la prolixité du calcul. Mais voiez pag. 467. Il est vrai qu’un serpentemt infiniment petit n’est qu’un serpentement nul, je conviens encore qu’un serpentemt seul n’est qu’un point simple c’est a dire, non multiple ; mais ce n’est pas un point ordinaire ; c’est un point singulier en ce que la Tangente d’un point ordinaire ne rencontre que deux fois la courbe en ce point, au lieu que la Tangente d’un point de serpentement l’y rencontre 4 fois. L’axe qui touche à l’origine la parabole eq9 ne la coupe que deux fois, celui qui touche la parabole eq10 la rencontre 4 fois. Mais direz vous, cette difference ne paroit que dans le calcul, & nullement dans la figure. J’en conviens : mais de ce qu’elle ne paroît pas, il ne s’ensuit pas qu’elle ne soit réelle.

Cramer affirme ici que seul le calcul algébrique permet de différencier un point de serpentement (qui paraît ordinaire à la vue) des points réguliers (qui se trouve par le calcul être singulier). La réponse de D’Alembert[47] montre qu’il tient compte des arguments présentés par Cramer, tout en ne se déparant pas de son approche géométrique :

J’ay eu tort je l’avoüe de prendre les points singuliers pour des points conjugués ; comme je vous ecrivois assés à la hate mes premieres idées, je n’avois point fait attention à la difference que vous y remarqués, & qui est très juste. Cependant je ne goute point ces notions de serpentement infiniment petit ; et je ne comprends pas comment vous pretendés que le serpentement laisse quelque trace, en convenant qu’il est nul. La courbure finie ou infiniment petite, ne change point ce me semble la nature du point, pas plus que deux points simples ne sont differens pour n’avoir pas la même tangente. Tout ce que je vois clairement c’est qu’en ces points la valeur de la tangente ou de l’ordonnée, est triple, / quadruple, quintuple &c. Mais je ne vois avec tout cela qu’un point simple, & qui reellement ne differe point par la nature des points ordinaires. Au reste je veux bien qu’on appelle ce point serpentement infiniment petit comme une maniere abregée de s’exprimer, mais voilà tout.

Ceci conclut l’échange entre les deux savants. Finalement, D’Alembert sera suffisamment convaincu de la réalité de ces points de serpentement pour en faire un article de l’Encyclopédie ; il signe donc un texte en forme de synthèse de leurs échanges dans l’article Serpentement en renvoyant le lecteur au traité de Cramer :

SERPENTEMENT, s. m. (Géom.) partie d’une courbe qui va en serpentant.

Le caractere du serpentement est que la courbe peut être coupée en 4 points, par une même ligne droite ; ainsi les serpentemens ne peuvent se trouver que dans les lignes du quatrieme ordre. Voyez Courbe & Equation.

On appelle serpentement infiniment petit, celui où on peut imaginer une ordonnée, qui étant supposée touchante de la courbe, y ait 4 valeurs égales, ou davantage ; par exemple la courbe qui a pour équation Capture d’écran 2016-03-30 à 17.54.54 a un serpentement infiniment petit à son origine, puisque si on transporte l’origine à une distance Capture d’écran 2016-03-30 à 17.56.08, en conservant toujours les Capture d’écran 2016-03-30 à 18.04.23, on aura en faisant Capture d’écran 2016-03-30 à 17.57.14, l’équation Capture d’écran 2016-03-30 à 18.02.03, qui donne lorsque Capture d’écran 2016-03-30 à 18.03.17, quatre valeurs de 2, toute égales à Capture d’écran 2016-03-30 à 18.04.18.

C’est pourquoi un point d’un courbe sera un serpentement infiniment petit, si en transportant l’origine en ce point, & rendant les nouvelles ordonnées u paralleles à la tangente en ce même point, on a en ce point  Capture d’écran 2016-03-30 à 18.06.31 , 3 étant un nombre impair quelconque < 4.

Si on avoit Capture d’écran 2016-03-30 à 18.06.45, le point de serpentement seroit avec inflexion, si on avoit  Capture d’écran 2016-03-30 à 18.06.53, le point de serpentement seroit double ; si Capture d’écran 2016-03-30 à 18.07.00 , il seroit double avec inflexion, & ainsi de suite. Voyez le traité des courbes de M. Cramer. (O) [48]

Entre « voir » et « calculer », un cheminement épistémologique ?

Ces deux exemples concernant les points singuliers des courbes algébriques, tirés de la correspondance de Gabriel Cramer avec deux des plus éminents mathématiciens de son temps, permettent d’abord d’illustrer le rôle des correspondances dans le processus de (re)définition et d’institutionnalisation d’une notion mathématique, discutée dans des lettres avant d’être diffusée dans des ouvrages de référence.

Mais au-delà des échanges de savoir mathématique entre savants, parfaitement attendus dans le cadre d’une correspondance scientifique, il est intéressant de percevoir dans ces deux exemples les tensions et les dynamiques qui existent, dans la démarche adoptée par Cramer pour l’étude des courbes algébriques, entre les approches géométrique (juger par la vision, le dessin) et algébrique (juger par le calcul). Dans les premiers échanges avec Euler en 1744-45 sur les points de rebroussement de la seconde espèce, en réponse au cas proposé par Euler, on voit un Gabriel Cramer qui commence par explorer des configurations géométriques alternatives (le petit sac fort allongé, le point de rebroussement ordinaire ou la fueille [qui] s’évanouit) qui seraient à même de réfuter l’exemple fourni par son interlocuteur, et qui ne mobilise que tardivement (ou marginalement) les méthodes algébriques pour se laisser convaincre de la réalité de ces points singuliers qu’il est si difficile de débusquer. Les allers-retours entre géométrie et algèbre, entre « voir » et « calculer », font alors partie intégrante de la pratique mathématique de Cramer en tant qu’approches complémentaires.  Les échanges plus tardifs avec D’Alembert autour des points de serpentement, en 1750, laissent entendre que cette pratique a évolué dans le temps. En effet face à D’Alembert qui adopte un point de vue strictement géométrique sur les points de serpentement dans sa lettre de septembre 1750 (un serpentement nul n’est autre chose qu’un point simple), Cramer oppose dans sa réponse du 2 octobre des arguments qui reposent exclusivement sur le calcul algébrique et s’imposent clairement à une simple perception géométrique : Mais direz vous, cette difference ne paroit que dans le calcul, & nullement dans la figure. J’en conviens : mais de ce qu’elle ne paroît pas, il ne s’ensuit pas qu’elle ne soit réelle.

L’étude de la correspondance de Cramer, dans le cadre restreint de ces deux moments, est donc susceptible d’alimenter une analyse du cheminement épistémologique du savant genevois, qui aurait privilégié avec le temps une approche calculatoire et algébrique de l’étude des courbes au détriment d’une approche géométrique.  Pour être confortée cette affirmation mérite bien entendu de s’appuyer sur un corpus plus large et sur des analyses plus poussées, en sortant du seul contexte de la classification des points singuliers, en examinant de près le reste de la correspondance scientifique de Cramer sur la période 1745-1750, et en mobilisant les autres sources à notre disposition comme, par exemple, des manuscrits intermédiaires dont l’exploitation est en œuvre, ce qui ne saurait se faire dans les limites du présent article. Enfin cette étude, très limitée par nature, invite aussi à dépasser le cas de Gabriel Cramer et à questionner plus généralement les rapports et les tensions entre géométrie et algèbre (ou plus largement l’analyse, en incluant le calcul différentiel) dans les pratiques des mathématiciens étudiant les courbes algébriques au XVIIIe siècle, ce qui nécessite des recherches de bien plus grande ampleur.


Notes

[1]     Il n’est cependant pas parvenu à se faire élire associé étranger de l’Académie royale des sciences de Paris, malgré trois tentatives entre 1748 et 1750.

[2]     Jean Bernoulli (Bâle 1667, Bâle 1748) occupe une place très importante dans la communauté scientifique européenne de la fin du XVIIe et la première moitié du XVIIIe siècle. Il a largement contribué à la diffusion du calcul différentiel et intégral de Leibniz sur le continent. Outre Gabriel Cramer, de nombreux mathématiciens ont suivi son enseignement à Bâle, dont Maupertuis et Euler (voir ci-dessous). Son neveu Nicolas (1687-1759) et ses fils Daniel (1700-1782) et Jean (1710-1790) sont également des scientifiques de premier plan : ils ont tous été en correspondance avec le Genevois.

[3]     James Stirling (Garden 1692, Edimbourg 1770) est un mathématicien écossais, et un continuateur des travaux de Newton sur les courbes algébriques du troisième ordre, dont il a publié un important commentaire intitulé Lineae tertii ordinis neutonianae en 1717.

[4]     Jean-Jacques Dortous de Mairan (Béziers 1678, Paris 1771) est un savant français, véritable pilier de l’Académie royale des sciences de Paris dont il fut le secrétaire perpétuel entre 1740 et 1743 en succession de Fontenelle, où il s’est montré fervent défenseur des thèses cartésiennes.

[5]     Pierre Louis Moreau de Maupertuis (Saint-Malo 1698, Bâle 1759) est considéré comme l’un des principaux artisans de l’introduction et de la diffusion des idées newtoniennes en France dans les années 1730. Elu à l’Académie royale des sciences de Paris dès 1723, il est appelé par Frédéric II de Prusse à Berlin, où il dirige l’Académie royale des sciences et belles-lettres de 1746 à sa mort, en 1759. Si ses tout premiers travaux ont porté sur les mathématiques (on lui doit notamment quelques mémoires sur la géométrie des courbes), il s’est très vite tourné vers l’astronomie, et a mené l’expédition française en Laponie (1736-37) pour l’opération de mesure d’un degré de méridien visant à démontrer que, conformément aux prévisions de la théorie de Newton, la Terre est aplatie aux pôles.

[6]     Alexis Claude Clairaut (Paris 1713, Paris 1765) est un mathématicien très précoce : il est élu à l’Académie royale des sciences de Paris à l’âge de 18 ans seulement, et en sera un de ses membres les plus actifs tout au long de sa vie. Proche de Maupertuis, il l’accompagne lors de l’expédition en Laponie. Ses premiers travaux mathématiques portent sur les courbes géométriques : un de ses textes les plus importants est intitulé Recherches sur les courbes à double courbure, publié à Paris en 1731. Il sera un correspondant régulier de Gabriel Cramer de 1729 à 1750.

[7]     Leonhard Euler (Bâle 1717, Saint-Pétersbourg 1783) a fortement contribué aux principaux champs d’études mathématiques de son temps. Membre du département de mathématiques de l’Académie de Saint-Pétersbourg à partir de 1727, il accepte en 1741 l’invitation de Frédéric II de Prusse à venir à l’Académie de Berlin qu’il contribue à refonder, avant de retourner en Russie en 1766. On lui doit, parmi de nombreux travaux de tout premier plan, un ouvrage fondateur pour l’analyse mathématique, intitulé Introductio in analysin infinitorum, publié en deux volumes à Lausanne en 1748. Le second volume traite à peu près du même sujet que le traité des courbes de Cramer, mais mobilise des méthodes différentes. Sa correspondance avec Gabriel Cramer débute en 1743 et ne cesse qu’à la mort du Genevois.

[8]     Jean Le Rond D’Alembert (Paris 1717, Paris 1783) est bien connu pour avoir dirigé avec Denis Diderot l’édition de l’Encyclopédie, ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers entre 1747 et 1758. Membre de l’Académie royale des sciences de Paris dès 1741, son œuvre scientifique est considérable, notamment en mathématiques. Il fait la rencontre de Gabriel Cramer lors du séjour parisien de 1747-48 du Genevois, et entretient dès lors avec lui une correspondance nourrie, dont les aspects mathématiques les plus intéressants font suite à la lecture attentive par D’Alembert du traité des courbes de Cramer publié en 1750.

[9]    Pour une biographie complète de Gabriel Cramer et un aperçu de son réseau de correspondants, voir : Pierre Speziali, Gabriel Cramer (1704-1752) et ses correspondants, Paris, Université de Paris, collection « Les Conférences du Palais de la Découverte », 1958.

[10]  Gabriel Cramer, Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques, Genève, Frères Cramer et C. Philibert, 1750. Une copie numérique de très bonne qualité de cet ouvrage est disponible sur le portail e-rara.ch à l’adresse suivante : http://dx.doi.org/10.3931/e-rara-4048.

[11]  Isaac Newton, « Enumeratio linearum tertii ordinis », in Opticks: or, A treatise of the reflexions, refractions, inflexions and colours of light. Also two treatises of the species and magnitude of curvilinear figures, Londres, Sam. Smith, and Benj. Walford, Printers to the Royal Society, 1704, p. 137‑162.

[12]  James Stirling, Lineae tertii ordinis Neutonianae, sive, Illustratio tractatus D. Neutoni De enumeratione linearum tertii ordinis: cui subjungitur, solutio trium problematum, Oxford, Edvardi Whistler, 1717.

[13]  Pierre Louis Moreau de Maupertuis, « Sur quelques affections des courbes », Histoire de l’Académie Royale des Sciences. Année M. DCCXXIX. Avec les Mémoires de Mathématique & de Physique, pour la même année, tirés de registres de cette Académie., 1731, p. 277‑282.

[14]  François Nicole, « Traité des lignes du troisième ordre, ou des courbes du second genre », Id., p. 194‑224.

[15]  Christophe-Bernard de Bragelongne, « Examen des lignes du quatrième ordre ou courbes du troisième genre. », Histoire de l’Académie royale des sciences. Année M. DCCXXX. Avec les Mémoires de Mathématique & de Physique, pour la même Année. Tirés des Registres de cette Académie., 1733, p. 226‑312.

[16]    Guillaume François Antoine, marquis de L’Hôpital (Paris 1661, Paris 1704) a beaucoup contribué à la diffusion du calcul différentiel et intégral de Leibniz en publiant son Analyse des infiniment petits, pour l’intelligence des lignes courbes en 1696, qui se basait sur les leçons reçues par l’auteur de la part de Jean Bernoulli.

[17]  Guillaume François Antoine Marquis de L’Hôpital, Analyse des infiniment petits, pour l’intelligence des lignes courbes, Paris, de l’Imprimerie Royale, 1696.

[18]    Jean-Paul De Gua de Malves (Carcassonne 1714, Paris 1786) est également connu pour avoir été le premier directeur de l’Encyclopédie pendant un peu plus d’une année, en 1746-47. Personnage réputé colérique et impulsif, il est rapidement remplacé par D’Alembert et Diderot à cette fonction. Il est élu à l’Académie royale des sciences en 1741, mais en est écarté en 1745 suite à une querelle avec un de ses collègues académicien.

[19]  Jean-Paul De Gua de Malves, Usages de l’analyse de Descartes pour découvrir sans le secours du calcul différentiel les propriétés ou affections principales des lignes géométriques de tous les ordres, Paris, Jombert, 1740.

[20]    Gabriel Cramer, Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques, p. viii-xi.

[21]    La correspondance entre Cramer et D’Alembert a été tout récemment éditée : Passeron Irène (éd.), Correspondance générale 1741-1752, Paris, CNRS, collection « Jean Le Rond d’Alembert, Œuvres complètes », 2015, vol.V/2. Celle avec Euler est en cours de publication.

[22]    Gabriel Cramer, Ibidem, p. 572.

[23]    Les transcriptions de passages d’ouvrages ou de lettres manuscrites présentées dans cet article respectent, dans la mesure du possible, la graphie, la ponctuation et l’orthographe d’origine. J’ai fidèlement reproduit les transcriptions publiées les plus récentes lorsqu’elles existent (pour la correspondance entre Cramer et D’Alembert, par exemple).

[24]    Guillaume François Antoine Marquis de L’Hôpital, Ibidem, p. 102.

[25]    Guillaume François Antoine Marquis de L’Hôpital, Ibidem, Figure 91, p. 110.

[26]  Maupertuis, Ibidem, p. 279-280

[27]         Jean-Paul De Gua de Malves, Ibidem, p. xvi-xvii

[28]        Jean Le Rond D’Alembert, « Usage de l’analyse de Descartes, pour découvrir sans le secours du Calcul différentiel les propriétés ou affections principales des lignes Géométriques de tous les Ordres, par M. l’Abbé de Gua de Malves… », Le Journal des Sçavans, pour l’année M.DCC.XL Mai, 1740, p. 866-867.

[29]  Leonhard Euler, Introductio In Analysin Infinitorum, Lausanne, Marc-Michel Bousquet & associés, 1748, vol.2. Suite à l’édition scientifique des Opera Omnia de Jean Bernoulli (1742) réalisée avec un certain succès par Gabriel Cramer en collaboration avec l’imprimeur Marc-Michel Bousquet à Lausanne, Euler écrit à Cramer dès mai 1743 pour lui demander de superviser l’impression de son Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes (1744), également imprimé par Bousquet. Ce dernier transmet à Cramer, à l’automne 1744, une nouvelle proposition de collaboration : il s’agit cette fois de suivre l’impression de l’Introductio in analysin infinitorum, dont le sujet est très proche de celui du traité de Cramer : pour cette raison, le Genevois décline l’offre d’Euler, mais entame avec lui un échange sur les courbes, dont l’extrait suivant est issu.

[30]  Lettre d’Euler à Cramer, 20 octobre 1744. Smithsonian Institution Libraries, MSS 490A.

[31]  Lettre de Cramer à Euler, 11 novembre 1744. Bibliothèque de Genève, Ms Fr 657/b, f18-20 (brouillon). L’original (non consulté) est aux archives de l’Académie de Saint-Pétersbourg, f 136, op. 2, n°13, f 6-7v.

[32]    Lire « feuille » ; l’orthographe « fueille » était alors parfois utilisée.

[33]  On y apprend notamment qu’Euler demande à Cramer d’intercéder auprès de l’imprimeur Marc-Michel Bousquet à Lausanne pour qu’il insère une note corrective dans son ouvrage. Hélas cette insertion se fera à un endroit inadéquat, ne faisant qu’ajouter de la confusion au texte d’Euler, ce dont il fut fort mécontent. Voir à ce sujet la correspondance entre d’Alembert et Euler en septembre-octobre 1747 éditée dans Passeron Irène (éd.), Correspondance générale 1741-1752, Paris, CNRS, collection « Jean Le Rond d’Alembert, Œuvres complètes », 2015, vol.V/2, p. 161-180.

[34]    Lettre d’Euler à Cramer, 6 juillet 1745. Bibliothèque de Genève, Ms. suppl. 362, fo 1–2. Souligné par nous.

[35]  Gabriel Cramer, Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques, p. 572.

[36]  Ibidem, p. 590.

[37]  Ibidem, p. 600.

[38]  Lettre de Cramer à Euler, 25 septembre 1750. Bibliothèque de Genève, Ms Fr 657b f 78 (brouillon). On peut également remarquer que Cramer ne cite pas Euler à cet endroit de son traité.

[39]  Le point de rebroussement de la seconde espèce fait en effet l’objet d’une courte mention dans le mémoire de Jean Le Rond D’Alembert, « Recherches sur le calcul intégral », Histoire de l’Académie royale des sciences et des belles lettres de Berlin. Année MDCCXLVI., 1748, p. 182‑224. Euler a publié quelque temps plus tard un mémoire sur le sujet précis des points de rebroussement de la seconde espèce (Leonhard Euler, « Sur le point de rebroussement de la seconde espèce de Mr. le Marquis de L’Hôpital. », Histoire de l’Académie royale des sciences et des belles lettres de Berlin. Année MDCCXLIX., 1751) dans lequel il reprend l’exemple donné à Cramer en 1744. Néanmoins Euler, qui a certainement la priorité comme en témoignent les lettres échangées avec Cramer fin 1744, la concède à d’Alembert dans un avertissement inséré dans l’Histoire de l’académie de Berlin en 1750 : Leonhard Euler, « Avertissement au sujet des Recherches sur la Précession des Equinoxes », Histoire de l’Académie royale des sciences et des belles lettres de Berlin. Année MDCCL., 1752, p. 412.

[40]  Cet épisode fait l’objet du mémoire de Master 2 de Jean-Fabien Sardin, « De l’existence du point de rebroussement de seconde espèce : l’inadvertance de l’abbé De Gua de Malves », sous la direction d’Olivier Bruneau, Centre François Viète, Université de Nantes, 2011 (non publié).

[41]  Jean Le Rond D’Alembert, « Rebroussement », in Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, 1751, Vol XIII, p. 842. Transcription Wikisource http://fr.wikisource.org/wiki/L%E2%80%99Encyclop%C3%A9die/1re_%C3%A9dition/REBROUSSEMENT

[42]  Pierre Louis Moreau de Maupertuis, « Sur quelques affections des courbes », p. 394.

[43]  Gabriel Cramer, Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques, p. 403. Souligné par nous.

[44]    Ibidem, p. 408

[45]  Lettre de D’Alembert à Cramer, septembre 1750. Genève, Musée d’histoire des sciences, Z211, f. 12-[13], in Passeron Irène (éd.), Ibidem, p. 277-278.

[46]  Lettre de Cramer à d’Alembert, 2 octobre 1750. Bibliothèque de Genève, Ms. Fr. 657b, f. 71-73. in Passeron Irène (éd.), Ibidem, p. 282-286. Souligné par nous.

[47]  Lettre de D’Alembert à Cramer, 18 octobre 1750. Bibliothèque de Genève, Ms. Suppl. 359, f. 39-42, éditée dans Passeron Irène (éd.), Ibidem, p. 296.

[48]  Jean Le Rond D’Alembert, « Serpentement », in Encyclopédie ou Dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, 1751, Vol. XV, p. 112. Transcription Wikisource http://fr.wikisource.org/wiki/L%E2%80%99Encyclop%C3%A9die/1re_%C3%A9dition/SERPENTEMENT

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